Запись целых чисел в двоичной системе счисления
Настало время разобраться, каким же образом можно записывать любые целые числа с помощью двоичной системы счисления, т. е. с помощью всего двух цифр "0" и "1".
Замечание
Разумеется, что записывать можно не только целые, но и дробные, а также любые другие числа, однако это выходит за рамки, необходимые для того, чтобы в конечном счете понять, как происходит кодирование и обработка любой интересующей нас информации, в частности изображений и цвета. Пока же мы не выходим за рамки арифметики, поэтому — терпение: мы уже на пути к этому.
Исходя из этой задачи, попробуем составить таблицу чисел, которые "состоят" из цифр "0" и "1".
Замечание
Как эту задачу можно определить "обычными" словами (наука наукой, однако за скучными, точными фразами надо уметь находить обычный план изложения)? То, что мы сказали ("кодировать в двоичной системе счисления"), на самом деле означает — "как с помощью всего двух цифр написать любое целое число". Можно также сформулировать нашу задачу фразой "как преобразовать десятичные числа в двоичные".
Тогда давайте, рассуждая, заполнять строки таблицы, у которой в левом столбце будут располагаться привычные нам десятичные числа, а в правом — их эквивалент в двоичной системе счисления (табл. 4.2).
С нуля начинается числовая ось натуральных целых чисел. Последующие целые числа получаются с помощью последовательного прибавления единицы к предыдущему числу.
Итак, число "ноль" в десятичной и двоичной системах счисления совпадает и обозначается одной и той же цифрой "О".
Далее переходим к единице, которая получается прибавлением единицы к нулю. В двоичной системе счисления, как и в десятичной, используется также одна и та же цифра "1".
Замечание
Еще раз напомним, что "цифра" и "число" не всегда совпадают. Цифра — это просто знак, количество цифр ограничено. Число — это математическая категория количества, чисел бесконечное множество.
Таблица 4.2. Начало таблицы преобразования десятичных чисел в двоичные
Десятичная система счисления |
Двоичная система счисления |
||
0 1 |
0 1 |
||
Для обозначения числа "два" в десятичной системе счисления предусмотрен специальный знак — цифра "2". А в двоичной системе счисления весь, прямо скажем, небогатый запас знаков ("цифр") мы уже исчерпали. Как же быть в этой ситуации?
Читатели, надеюсь, не обидятся, если мы снова напомним некоторые сведения первого класса начальной школы. Итак, вспомним сложение.
2+1 = 3;
8 + 1 = 9;
9 + 1 = ...
Мы получили число "9" и попытались к нему прибавить "1". Почему же мы остановились? У нас опять кончились цифры! До этого момента каждое число получало свой особенный знак или символ — цифру. Последовательно прибавляя "1", мы каждый раз использовали для этого шага особый знак.
И вот после числа "9" особые знаки закончились. Цифр больше нет, а числа-то продолжают возрастать, т. к. числовая ось бесконечна...
Теперь следует вспомнить позиционный принцип, который мы обсуждали ранее, попробуем применить его и к двоичной системе счисления.
Информация о позиционном принципе — в разд. "Позиционный метод записи" данной главы.
Арифметика едина, и все ее законы едины, независимо от системы счисления. У нас есть только две цифры, но с их помощью необходимо уметь записывать любое число, расположенное на длинной числовой оси.
Когда закончились двоичные цифры, надо снова начинать с нуля, записав в следующую позицию "единицу". Рассуждая таким образом, мы получаем, что десятичное число "2" у нас будет представлено двоичным числом "10", т. е. "двоичной десяткой":
12 + 1 = 102.
Далее, число "3" десятичной системы станет в двоичной системе числом "11", т.
к.
102+ 1 = 112.
Замечание
Не следует удивляться тому, что в десятичной записи число "3" представлено одной цифрой (одноразрядное), а в двоичной ("11") оно представлено двумя цифрами (двухразрядное). Более того, следует учесть, что далее этот разрыв будет увеличиваться.
Следующий шаг снова требует внимания:
112+ 1 = ...
Теперь к числу "И" в двоичной системе прибавляем "1": сумма "1 + 1" дает "0", но мы при этом переносим "1" в следующий разряд. В следующем разряде снова получается сумма "1 + 1", т. е. опять "О", значит, создаем еще один разряд и переносим единицу в этот разряд — в итоге получается двоичное число "100", т. е. "двоичная сотня":
112+ 1 = 1002.
Десятичное число "4" в двоичной системе представляется числом "100".
Далее, десятичное число "5" — это двоичное число "101", десятичное число "6" — это двоичное число "110", а десятичное число "7" — это двоичное число "111".
Снова добавляется разряд, следовательно, десятичное число "8" — это уже двоичное число "1000" ("двоичная тысяча"), десятичное число "9" — это двоичное число "1001" и, наконец, десятичное число "10", у него два разряда, представляется двоичным числом "1010", у которого четыре разряда. И так далее (до бесконечности).
Подводя итог математическому упражнению для первого класса, мы можем составить таблицу соответствий десятичных и двоичных чисел, например, в пределах первых двух десятков десятичной системы счисления (табл. 4.3). Читатели, при желании, могут продолжать ее, пока хватит терпения.
Таблица 4.3. Соответствие десятичных и двоичных чисел
Десятичное число |
Двоичное число |
Десятичное число |
Двоичное число |
||
0 |
0 |
11 |
1011 |
||
1 |
1 |
12 |
1100 |
||
2 |
10 |
13 |
1101 |
||
3 |
11 |
14 |
1110 |
||
4 |
100 |
15 |
1111 |
||
5 |
101 |
16 |
10000 |
||
6 |
110 |
17 |
10001 |
||
7 |
111 |
18 |
10010 |
||
8 |
1000 |
19 |
10011 |
||
9 |
1001 |
20 |
10100 |
||
10 |
1010 |
||||
